Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Çevrə və Dairə


Yaranma tarixi:

Çevrə uzunluğu və dairənin sahəsi

çevrə  sahə  

 

Çevrə uzunluğu

Çevrə uzunluğunu tapmaq üçün onun daxilinə və xaricinə düzgün 6-bucaqlı çəkək. Daxilə çəkilmiş düzgün 6-bucaqlının perimetrini $p$, xaricə çəkilmiş düzgün 6-bucaqlını perimetrini isə $P$ ilə işarələyək. Çevrənin radiusu $r$ olsun.

Daxilə çəkilmiş 6-bucaqlı
Şəkil 1

Əvvəl daxilə çəkilmiş 6-bucaqlıya baxaq. Hər bir 6-bucaqlını 6 ədəd üçbucağa bölə bilərik. Alınan üçbucaqların oturacaqlarının uzunluqları cəmi 6-bucaqlının perimetrini verir. Bu üçbucaqların yan tərəfləri radiusa bərabər olduğu üçün onlar bərabəryanlıdır. Oturacaqları isə 6-bucaqlının tərəfləri olduğu üçün bərabərdir. Deməli bu bərabəryanlı üçbucaqlar, üçbucaqların bərabərliyinin 3-cü əlamətinə görə bərabərdir. Yəni bir üçbucağın oturacağını tapıb 6-ya vurmaq kifayətdir ki, altıbucaqlının perimetrini tapaq.

Bu üçbucaqlardan birinin hündürlüyünü çəksək həmin hündürlük həm də median olacaq. Deməli onu iki bərabər düzbucaqlı üçbucağa böləcək. Nəticədə 6-bucaqlının perimetri artıq 6 yox, 12 ədəd üçbucağın oturacaqları cəminə bərabər olacaq.

İndi bu deyilənlər vasitəsilə daxilə çəkilən düzgün altıbucaqlının perimetrini tapaq. Şəkildə göstərilən mərkəzi bucaq ($\alpha$) tam bucağın (360°) $\dfrac{1}{6}$ hissəsinə bərabərdir. Deməli 6-bucaqlı halı üçün $$\alpha = \dfrac{360°}{6} = 60°$$ Bir də bilirik ki, düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu $r$-ə bərabərdir. Onda sinusin tərifinə görə $\dfrac{\alpha}{2}$ bucağının qarşısındakı katet $r \cdot sin\dfrac{\alpha}{2}$ olacaq. Üçbucaqların sayı 12 dənə, yəni çoxbucaqlının tərəfləri sayından 2 dəfə çox olduğu üçün, bu uzunluğu 12-yə vuracağıq.

$ p=6 \cdot 2r \ sin \dfrac{360°}{6 \cdot 2} = 6 \cdot 2r \ sin 30° = 2r \cdot \dfrac{6}{2} = 2r \cdot 3$

Xaricə çəkilmiş 6-bucaqlı
Şəkil 2

Eyni mülahizəni çevrə xaricinə çəkilmiş 6-bucaqlı üçün də apara bilərik. Burada fərq ondadır ki, çevrənin radiusu artıq düzbucaqlı üçbucaqların hipotenuzu deyil, kateti olacaq. Bu üçbucaqlarda təpə bucaqları və bitişik katetlər bərabər olduğundan, onlar hamısı düzbucaqlı üçbucağın bərabərlik əlamətinə görə bir-birinə bərabərdir.

Onda qarşı katet bitişik katet ilə $\dfrac{\alpha}{2}$ bucağının tangensi hasilinə bərabər olacaq $(r \cdot tg \dfrac{\alpha}{2})$. Eyni qayda ilə

$P=6 \cdot 2r \ tg \dfrac{360°}{6 \cdot 2} = 6\cdot 2r \ tg 30° =$
$= 2r \cdot \dfrac{6 \sqrt{3}}{3} = 2r \cdot 3,46$

Bizə lazım olan çevrənin uzunluğunu $c$ ilə işarə etsək, bu uzunluq tapılan $p$ və $P$ perimetrləri arasında olacaq.

$2r \cdot 3 < c < 2r \cdot 3,46$

Yuxarıdakı düsturları ümumiləşdirsək görərik ki, çoxbucaqlının bucaqları artdıqca dəyişən yalnız mərkəzi bucaq və düzbucaqlı üçbucaqların sayı olacaq. Yəni üçbucaqların sayı $2n$, onların təpə bucaqlarının ölçüsü isə $\dfrac{360°}{2n}$ olacaq. Daxilə və xaricə çəkilmiş çoxbucaqlıların perimetri isə $c$-yə yaxınlaşacaq. Bu dustluları n-bucaqlı halı üçün yazaq.

$p=2rn \ sin \dfrac{360°}{2n}; \ P=2rn \ tg \dfrac{360°}{2n}$

Bu iki qiyməti 1000-bucaqlı üçün hesablayaq.

$p=2r \cdot 1000 \ sin \dfrac{360°}{2000} \approx  2r \cdot 3,141587$
$P=2r \cdot 1000 \ tg \dfrac{360°}{2000} \approx 2r \cdot 3,141603$
$2r \cdot 3,141587 <c<2r \cdot 3,141603$

Eyni hesablamanı 10000-bucaqlı üçün aparsaq aşağıdakı qiymətləri alarıq.

$2r \cdot 3,141592602 <c<2r \cdot 3,141592757$

Gördüyünüz kimi bucaqların sayı artdıqca daxilə və xaricə çəkilmiş çoxbucaqlıların perimetri bir-birinə yaxınlaşır. Bu bərabərsizlikdə təkcə dəyişən bir ədəd var ki, onu da $\pi$ ilə işarə etsək, çevrənin uzunluğu üçün aşağıdakı düsturu alarıq.

$c=2 \pi r$

Sadəlik üçün $\pi \approx 3,14$ götürülür.

Dairənin sahəsi

Yenə şəkil 1-ə baxaq. Eynilə çevrə uzunluğunu taparkən istifadə etdiyimiz vasitə ilə daxilə çəkilmiş düzgün n-bucaqlının sahəsini tapaq. Daxilə çəkilmiş n-bucaqlının sahəsini $s_n = n \cdot s_{\triangle}$ işarə etsək $s_{\triangle}$ sinus vasitəsilə belə tapıla bilər.

$s_{\triangle} = \dfrac{r^2}{2} sin \alpha =  \dfrac{r^2}{2} sin \dfrac{360°}{n}$

Burada üçbucağın tərəfləri $r$, bu tərəflər arasındakı bucaq isə $\alpha$-dır. n-bucaqlının sahəsi yuxarıdakı düstura görə belə hesablanacaq.

$s_n = \dfrac{n}{2} r^2 \ sin \dfrac{360°}{n}$

Hündürlüyü radiusa bərabər olan üçbucaqlar

Şəkil 3

Xaricə çəkilmiş n-bucaqlının sahəsini $S_n = n \cdot S_{\triangle}$ işarə edək. Burada $S_{\triangle}$  başqa yolla tapılacaq. Bizə məlumdur ki n-bucaqlı xaricə çəkilərsə, alınan üçbucaqların hündürlüyü $r$-ə bərabər olacaq (şəkil 3). Oturacağı isə üçbucağın təpə bucağının yarısı və hündürlük ilə tapa bilərik.

$\dfrac {a}{2} = r \ tg \dfrac{\alpha}{2}; \ \alpha = \dfrac{360°}{n}$

Onda aşağıdakı sahə düsturunda $\dfrac{a}{2}$ qiymətini yerinə yazsaq

$S_{\triangle} = \dfrac{a}{2} \cdot r = r^2 \ tg \dfrac{\alpha}{2}$
$S_n = nr^2 \ tg \dfrac{\alpha}{2} = nr^2 \ tg \dfrac{360°}{2n}$

Bizə lazım olan $S$ sahəsi

$s_n < S < S_n$
$\dfrac{n}{2} r^2 \ sin \dfrac{360°}{n} < S < nr^2 \ tg \dfrac {360°}{2n}$
$r^2 \cdot \dfrac{n}{2} \ sin \dfrac{360°}{n} < S < r^2 \cdot n \ tg \dfrac{360°}{2n}$

$n=1000$ halı üçün

$r^2 \cdot  3,141572 < S < r^2 \cdot 3,141602$

$n=10000$ halı üçün

$r^2 \cdot  3,141592447 < S < r^2 \cdot 3,141592757$

Görürük ki, $n$ artdıqca yenə sağ və sol tərəfdəki ədəd bayaqkı $\pi$-yə yaxınlaşır. Onda dairənin sahəsini də $\pi$ vasitəsilə belə ifadə edə bilərik.

$S=\pi r^2$

Digər məqalələr

Çevrə və bucaqların 6 xassəsi
Kəsişən vətərlər arasındakı bucaq həmin bucağın tərəfləri arasında qalan qövslərin ölçüləri cəminin yarısına bərabərdir. Çevrəni kəsən iki düz xətt arasındakı bucaq, həmin bucağın kəsişmədə əmələ gətirdiyi böyük qövs ilə kiçik qövsün fərqinin yarısına bərabərdir.

Çevrə və Dairə
Müstəvidə verilmiş nöqtədən eyni məsafədə olan nöqtələrin əmələ gətirdiyi həndəsi fiqura çevrə deyilir. Müstəvinin çevrə ilə məhdudlaşmış hissəsinə dairə edilir.

Çevrənin və düz xəttin tənliyi
Əgər müstəvidə verilmiş fiqurun istənilən nöqtəsinin (x; y) koordinatları verilmiş tənliyi ödəyirsə bu tənliyə həmin fiqurun tənliyi deyilir. Düz xəttin tənliyi ax+by+c=0 kimidir.

Daxilə çəkilmiş və mərkəzi bucaqlar
Təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucağa mərkəzi bucaq deyilir. Təpəsi çevrə üzərində olub tərəfləri çevrənin tərəflərini kəsən bucağa daxili bucaq deyilir. Daxili bucaq söykəndiyi qövsün yarısı ilə ölçülür.

Düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Əgər çoxbucaqlının bütün təpələri çevrə üzərindədirsə, bu çevrəyə çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə deyilir. Əgər çoxbucaqlının bütün tərəfləri çevrəyə toxunursa, bu çevrəyə çoxbucaqlı daxilinə çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə həmişə çevrə çəkmək olar.

Çevrəyə toxunan
Əgər çevrə və düz xəttin yalnız bir orta nöqtəsi varsa bu düz xəttə çevrəyə toxunan deyilir.Çevrəyə toxunan, toxunma nöqtəsindən çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.

Çevrə vətərinin 9 xassəsi
Çevrənin mərkəzindən eyni məsafədə olan vətərlər bərabərdir. Əgər vətərlər bərabər mərkəzi bucaqlar qarşısındadırsa onlar bərabərdir. Əgər diametr vətərə perpendikulyardırsa onun mərkəzindən keçir. Eyni vətərə eyni tərəfdən söykənən daxili bucaqlar bərabər, müxtəlif tərəflərdən söykənən bucaqların cəmi 180°-yə bərabərdir.

Kəpənək teoremi
Tutaq ki, M nöqtəsi çevrənin PQ vətərinin orta nöqtəsidir. Həmin M nöqtəsindən iki AB və CD vətərləri çəkək. AD parçasının PQ vətərini kəsən nöqtəni X, BC parçasının PQ vətərini kəsən nöqtəni Y ilə işarə edək. Onda M nöqtəsi XY parçasının da orta nöqtəsi olacaq.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.