Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Yaranma tarixi:

tg(a+b), tg(a-b), ctg(a+b), ctg(a-b)

Əvvəl $tg (\alpha + \beta)$-ya baxaq. Əsas triqonometrik bərabərliklərdən bilirik ki,

$tg(\alpha + \beta) = \dfrac {sin(\alpha + \beta)}{cos(\alpha + \beta) } = \dfrac {sin(\alpha + \beta)}{cos\alpha \ cos \beta - sin\alpha \sin\beta }$

Çünki $cos(\alpha+\beta) = cos\alpha \ cos\beta - sin\alpha \ sin \beta$ deməkdir. Çıxarılışına burada baxa bilərsiniz.

$tg \alpha$ və $tg \beta$ təyin olunubsa $cos\alpha \ne 0$ və $cos\beta \ne 0$. Onda surət və məxrəci $cos \alpha \cdot cos \beta$-ya bölə bilərik.

$\dfrac {sin(\alpha + \beta)}{cos\alpha \ cos\beta - sin\alpha \ sin\beta} = \dfrac{\dfrac{sin(\alpha + \beta)}{cos\alpha \ cos\beta}} {\dfrac{cos\alpha \ cos\beta - sin\alpha \ sin\beta}{cos\alpha \ cos\beta}}= \\[15pt] =\dfrac{\dfrac{sin(\alpha + \beta)}{cos\alpha \ cos\beta}} {1 - \dfrac{sin\alpha \ sin\beta}{cos\alpha \ cos\beta}}$

$tg\alpha + tg\beta$ çıxarılışından bilirik ki, $tg\alpha +tg\beta = \dfrac {sin(\alpha+\beta)}{cos \alpha \ cos\beta}$. Onda yuxarıdakı nisbəti belə yaza bilərik

$\dfrac {tg \alpha + tg\beta}{1 - \dfrac{sin\alpha \ sin\beta}{cos\alpha \ cos\beta}} = \dfrac {tg \alpha + tg\beta}{1 - \dfrac{sin\alpha}{cos\alpha} \cdot \dfrac{sin\beta}{cos\beta}} =\dfrac {tg \alpha + tg\beta} {1-tg\alpha \ tg\beta}$

Deməli,

$tg (\alpha+\beta) = \dfrac {tg \alpha + tg\beta} {1-tg\alpha \ tg\beta}$

Tangens tək funksiya olduğundan (çünki sinus tək, kosinus cütdür) fərqin tangensi üçün analoji olaraq alırıq:

$tg(\alpha - \beta) = \dfrac {tg\alpha +tg(-\beta)}{1-tg\alpha \ tg (-\beta)} = \dfrac {tg\alpha-tg\beta}{1+tg\alpha \ tg\beta}$

Düsturları ümumiləşdirsək

$\mathbf{tg(\alpha \pm \beta) = \dfrac {tg\alpha \pm tg\beta}{1 \mp tg\alpha \ tg\beta}}$

İndi $ctg (\alpha + \beta)$-ya baxaq.

$ctg (\alpha +\beta) = \dfrac{cos(\alpha+\beta)}{sin(\alpha+\beta)} = \dfrac{cos\alpha \ cos\beta - sin\alpha \ sin\beta}{sin(\alpha+\beta)}$

$ctg\alpha$ və $ctg\beta$ təyin olunubsa $sin\alpha \ne 0$ və $sin\beta \ne 0$. Surət və məxrəci $sin\alpha \cdot sin\beta$-ya bölək.

$\dfrac{\dfrac{cos\alpha \ cos\beta-sin\alpha \ sin \beta}{sin\alpha \ sin \beta}}{\dfrac{sin(\alpha+\beta)}{sin\alpha \ sin \beta}}$

$ctg\alpha + ctg\beta$ çıxarılışından bilirik ki, $ctg\alpha +ctg\beta = \dfrac {sin(\alpha+\beta)}{sin \alpha \ sin\beta}$. Onda yuxarıdakı nisbəti belə yaza bilərik

$\dfrac {\dfrac{cos\alpha \ cos \beta}{sin \alpha \ sin\beta} - \dfrac{sin\alpha \ sin\beta}{sin\alpha \ sin\beta}} {ctg\alpha + ctg\beta} =\dfrac {\dfrac{cos \alpha}{sin\alpha} \cdot \dfrac{cos\beta}{sin\beta} - 1}{ctg\alpha+ctg\beta} = \dfrac {ctg \alpha \ ctg \beta - 1}{ctg \alpha + ctg \beta}$

Deməli,

$ctg(\alpha +\beta) = \dfrac {ctg \alpha \ ctg \beta - 1}{ctg \alpha + ctg \beta}$

Eynilə $ctg(\alpha - \beta)$-nı taparkən nəzərə alsaq ki, kotangens də tək funksiyadır

$ctg(\alpha - \beta) = \dfrac {ctg\alpha \ ctg(-\beta)-1}{ctg\alpha + ctg(-\beta)} = \dfrac {-ctg\alpha \ ctg\beta -1}{ctg\alpha - ctg\beta} = \\[15pt] = - \dfrac {ctg\alpha \ ctg\beta + 1}{ctg\alpha - ctg\beta} = \dfrac {ctg\alpha \ ctg\beta + 1}{ctg\beta - ctg\alpha}$

Yenə də birləşdirərək ümumiləşmiş şəkildə belə yazmaq olar

$\mathbf{ctg(\alpha \pm \beta) = \dfrac{ctg \alpha \ ctg \beta \mp 1}{ctg\beta \pm ctg \alpha}}$

Digər məqalələr

Əsas triqonometrik bərabərliklər
Bu məqalədə əsas triqonometrik bərabərliklər göstərilir və hər biri ayrı-ayrılıqda izah edilir.

sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b), cos(a-b)
sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b) və cos(a-b) məktəb triqonometriyasından başlayaraq, sonra da institut kursunda ən çox rast gəlinən triqonometrik düsturlardandır.

sin(a)+sin(b), sin(a)-sin(b), cos(a)+cos(b), cos(a)-cos(b)
sin(a)+sin(b), sin(a)-sin(b), cos(a)+cos(b), cos(a)-cos(b) cəm və fərqlərini hasil ilə ifadə edək. Bunun üçün a və b-yə belə bir əvəzləmə aparaq.

İkiqat və üşqat bucağın triqonometrik funsiyaları
sin(2x), cos(2x), tg(2x), ctg(2x), sin(3x), cos(3x), tg(3x), ctg(3x) ikiqat və üçqat bucaqların triqonometrik düsturlarını çıxarmaq üçün cəmin triqonometrik funksiya düsturlarından istifadə edəcəyik.

tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b)
tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b) cəm və fərqlərini sin və cos nisbəti ilə ifadə edək. Bunun üçün əsas triqonometrik bərabərlikərdən istifadə edəcəyik.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.