Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Yaranma tarixi:

sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b), cos(a-b)

$sin (\alpha \pm \beta)$ və $cos(\alpha \pm \beta)$ məktəb triqonometriyasından başlayaraq, sonra da institut kursunda ən çox rast gəlinən düsturlardandır. Bu düsturların açılışı trivial olmadığı üçün adı çəkilən mövzuya məqalə həsr etmək qərarına gəldik.

üçbucaq

İlk öncə bu şəklə nəzər salaq. Bütün çıxarışlar bu qrafikin üzərində gedəcək. Şəkildə iki düzbucaqlı üçbucaq var. $\triangle ABC$ və $\triangle ACD$.

Əvvəl $sin(\alpha + \beta)$ çıxarılışına baxaq.


$(1)$
$ sin(\alpha + \beta) = \dfrac{DF} {AD} = \dfrac {DF} {R} = \dfrac {DE+EF} {R}$

 

$EF$ isə $BC$ ilə eynidir, çünki düzbucaqlının qarşı tərəfləridir. $BC$ isə öz növbəsində belə tapılır.


$(2)$
$sin \alpha = \dfrac{BC} {AC} \Rightarrow BC = AC \cdot sin \alpha \Rightarrow EF = AC \cdot sin \alpha$

$\angle CDE = \angle BAC = \alpha$, çünki bunlar tərəfləri perpendikulyar olan bucaqlardır. İndi $DE$-ni tapmağa çalışaq.


$(3)$
$cos \alpha = \dfrac {DE} {DC} \Rightarrow DE = DC \cdot cos \alpha$

(2) və (3) düsturlarını (1)-də yerinə yazsaq:


$(4)$
$sin (\alpha + \beta) = \dfrac {DE+EF} {R} = \dfrac{DC\cdot cos \alpha + AC \cdot sin \alpha} {R}$

Indi $DC$ və $AC$-ni $R$ vasitəsilə ifadə edək.


$(5)$
$sin \beta = \dfrac{DC}{R} \Rightarrow DC = R \cdot sin \beta; \ cos \beta = \dfrac {AC}{R} \Rightarrow AC = R \cdot cos \beta $

Bu ifadələri də (4) düsturunda yerinə yazsaq:



$(6)$
$sin (\alpha +\beta) = \dfrac{DC\cdot cos \alpha + AC \cdot sin \alpha} {R} = \\[15pt] = \dfrac {R \cdot sin \beta \ cos \alpha + R \cdot cos \beta \ sin \alpha} {R} = \dfrac {(sin \beta \ cos \alpha + cos \beta \ sin \alpha)R} {R} = \\[15pt] = sin \beta \ cos \alpha + cos \beta \ sin \alpha \\[15pt] \mathbf{sin (\alpha +\beta) = sin \alpha \ cos \beta + cos \alpha \ sin \beta}$

Onda

$sin (\alpha - \beta) = sin \alpha \ cos (-\beta) + cos \alpha \ sin (-\beta)$

Kosinus cüt funksiya olduğundan $cos (-\beta) = cos \beta$, amma sinus tək funksiyadır. Ona görə $sin(-\beta) = -sin \beta$. Nəticədə aşağıdakı düsturu alırıq.

$\mathbf{sin (\alpha -\beta) = sin \alpha \ cos \beta - cos \alpha \ sin \beta}$

Eyni qayda ilə $cos(\alpha + \beta)$ çıxarılışına baxaq.

$cos(\alpha +\beta) = \dfrac{AF}{AD} = \dfrac{AF}{R} = \dfrac{AB-FB}{R} = \dfrac{AB-EC}{R}$

Qrafikdən görünür ki,

$AB = AC \cdot cos \alpha = R \ cos\beta \ cos \alpha\\[15pt] EC = DC \cdot sin \alpha = R\ sin \beta \ sin \alpha\\[15pt] cos(\alpha +\beta) = \dfrac {AB-EC}{R} = \dfrac {R \ cos\beta \ cos\alpha - R \ sin\beta \ sin \alpha}{R} = cos\beta \ cos\alpha - sin\beta \ sin \alpha \\[15pt] \mathbf{cos(\alpha +\beta) = cos \alpha \ cos\beta - sin \alpha \ sin \beta}$

Yenə də

$ \mathbf{cos(\alpha -\beta) = cos \alpha \ cos(-\beta) - sin \alpha \ sin (-\beta) = cos \alpha \ cos\beta + sin \alpha \ sin \beta} $

Digər məqalələr

Əsas triqonometrik bərabərliklər
Bu məqalədə əsas triqonometrik bərabərliklər göstərilir və hər biri ayrı-ayrılıqda izah edilir.

sin(a)+sin(b), sin(a)-sin(b), cos(a)+cos(b), cos(a)-cos(b)
sin(a)+sin(b), sin(a)-sin(b), cos(a)+cos(b), cos(a)-cos(b) cəm və fərqlərini hasil ilə ifadə edək. Bunun üçün a və b-yə belə bir əvəzləmə aparaq.

İkiqat və üşqat bucağın triqonometrik funsiyaları
sin(2x), cos(2x), tg(2x), ctg(2x), sin(3x), cos(3x), tg(3x), ctg(3x) ikiqat və üçqat bucaqların triqonometrik düsturlarını çıxarmaq üçün cəmin triqonometrik funksiya düsturlarından istifadə edəcəyik.

tg(a+b), tg(a-b), ctg(a+b), ctg(a-b)
tg(a+b), tg(a-b), ctg(a+b) və ctg(a-b) ifadələrini açaraq nisbət şəlində göstərək.

tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b)
tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b) cəm və fərqlərini sin və cos nisbəti ilə ifadə edək. Bunun üçün əsas triqonometrik bərabərlikərdən istifadə edəcəyik.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.