Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Cəbr :: Hesab


Yaranma tarixi:

Cəbrdə hərflərin rolu

hesab  

 

İbtidai sinif kitablarında riyaziyyat hesab səviyyəsində keçildiyi üçün hərflərlə işarələnməyə orada rast gəlinmir. Əgər yadınızdadırsa 1-4-cü sinifdə oxuyan uşaqlar ev tapşırığını yerinə yetirərkən, məsələləri $x$ (“iks”) ilə deyil, sual verməklə həll edirlər. Dediyimiz “iks” anlayışı daxil edilərkən bir çox uşaqlar çaşqınlıq yaşayır.

Hərfləri başa düşməyin və başa salmağın asan yolu odur ki, hərfləri sözlərin qısaldılmış forması sayasınız. Məsələn,

$a+b=b+a$

yazarkən $a$ - birinci toplanan, $b$ - ikinci toplanan sözlərinin qısaldılmış formalarıdır.  $a+b$ yazarkən $a$ və $b$ əvəzinə istənilən ədədin yazıla biləcəyi nəzərdə tutulur. Elə bilin ki, $3+15 = 15+3$, $1829+3526=3526+1829$ və s. kimi sonsuz ifadələr yazmaqdansa, ədədlərin əvəzinə hərflərlə işarələmə aparıb fikrimizi bir ifadə şəklində başa sala bilərik.

Məsələ: Kiçik və böyük qablar birlikdə $5$ litr su tutur, $2$ balaca və $3$ böyük qab isə cəmi $13$ litr su tutur. Bu qabların hər birinin tutumunu tapın.

Həlli: $1$ kiçik və $1$ böyük qabın birlikdə tutumu $5 \ lt$ olduğu üçün $2$ kiçik və $2$ böyük qabın birlikdə tutumu $10 \ lt$ olacaq. $2$ kiçik və $3$ böyük qab isə birlikdə $13 \ lt$ su tutduğu üçün bu fərqdə artıq qalan bir böyük qab $3 \ lt$ su tutmuş olacaq.

$13-10=3 \ lt $

Böyük qabın tutumunu bildikdən sonra kiçik qabın tutumu məsələnin birinci şərtindən asanlıqla alınır.

$5-3=2 \ lt$

İndi eyni məsələni hərflərlə işarələmə yolu ilə həll edək. Kiçik qabın tutumunu $x$, böyük qabın tutumunu $y$ ilə işarə etsək məsələnin şərtini bu iki tənliklə vermək olar.

$\begin{cases} x+y=5 \\ 2x+3y=13 \end{cases}$

Birinci tənliyin hər iki tərəfini $2$-yə vursaq aşağıdakı ifadəni alarıq.

$2x+2y=10$

Bu tənliyi ikinci tənlikdən çıxsaq $y$-in qiymətini hasablamış olarıq.

$y=13-10=3$

Aldığımız qiyməti birinci tənlikdə yerinə yazmaqla $x$-ın da qiymətini tapa bilərik.

$x=5-y=5-3=2$

Nəticədə $x=2, \ y=3$ alırıq. Yada salsaq ki, $x$ ilə kiçik, $y$ ilə böyük qabın tutumunu işarə etmişik, yenə nəticədə kiçik qabın turumu $2 \ lt$, böyük qabın tumu isə $3 \ lt$ olacaq.

Deyilənləri möhkəmləndirmək üçün bir məşhur fokusu yada salaq.

Fokus: Fikrinizdə hər hansı bir ədəd tutun. Onun üzərinə $3$ gəlin. Alınan ədədi $2$-yə vurun. Fikrinizdəki ədədi həmin ədəddən çıxın. Sonra $4$ rəqəmini də nəticədən çıxın. Fikrinizdəki ədədi bir daha nəticədən çıxın. Sizdə $2$ ədədi qalmış olacaq. Elə deyilmi?

İzahı: Bu fokusu izah etmək üçün işarələmə etmək kifayətdir.

  • Fikrimizdəki ədəd $x$ olsun
  • Onun üzərinə $3$ gəlsək $x+3$ alarıq
  • Nəticəni $2$-yə vursaq$(x+3) \cdot 2$ alarıq
  • Fikrimizdəki ədədi çıxsaq $2x+6-x = x+6$ almış olarıq
  • Bu nəticədən $4$-ü də çıxsaq $x+6-4=x+2$ qalar
  • Sonda qalan ədəddən fikrimizdəki $x$ ədədini bir daha çıxsaq $x+2-x=2$ qalacaq

Göründüyü kimi fikrimizdəki ədədin nə olmasından asılı olmayaraq sonda həmişə $2$ qalır. Çünki bu ədədi əməliyyatlar nəticəsində əvvəl $2$-yə vururuq, sonra isə iki dəfə çıxırıq. Yerdə qalanların hamısı isə sabit kəmiyyətlər olur ki, onların da nəticəsi məlumdur.

Qeyd: Məqalə (İ.M.Gelfand, A.Şen) Algebra kitabından tərcümə olunub.

Digər məqalələr

Çıxma və alt-alta çıxma
Alt-alta çıxma eynilə alt-alta toplamanı xatırladır. Burada birinci sətirdə azalan, ikini sətirdə isə çıxılan yazılır. Bu yazılışda təkliklər təkliklərin altına, onluqlar onluqların altına və s. düşməlidir.

Toplama və alt-alta toplama
5+7 kimi toplama əməlini yəqin ki, hamınız fikrinizdə edirsiniz. Amma 18762+3529 kimi toplamanı fikrimizdə etmək o qədər də asan deyil. Ona görə alt-alta toplama adlı bir vasitə mövcuddur.

Bölmə və budaqlı bölmə
Bölmə əməli vurmanın tərsidir. Kiçik ədədlərin vurulması kimi bölünməsini də yaddaşda etmək olar. Amma böyük ədədləri bölmək üçün “budaqlı bölmə” tətbiq edilir.

Kommutativlik, assosiativlik və distributivlik
Toplananların yerini dəyişdikdə cəm dəyişmir. Vuruqların yerini dəyişdikdə hasil dəyişmir. İki cəmi vurmaq üçün I cəmin hər bir həddini II cəmin hər bir hədinə vurub nəticəni toplamaq lazımdır.

Kəsr ədədlər
Kəsr ədədləri müqayisə etmək üçün onları ümumi məxrəcə gətirib surətlərini müqayisə etmək lazımdır. Hansı kəsrin surəti böyükdürsə, həmin kəsr böyükdür. Əgər məxrəcləri eyniləşdirmək daha çox hesablama tələb edirsə, surətləri bərabərləşdirməyə çalışın.

Mənfi ədədlər
3+5=8 olduğunu “alma” misalında başa salmaq asandır. Bəs (-3)+(-5)=(-8) və ya (-3)+5=2 olduğunu necə başa düşək və kiçik bacı-qardaşlarımıza necə başa salaq. Bu halda bizə almadan daha “güclü” misal lazımdır.

Vurma və alt-alta vurma
Alt-alta vurma əməlini yerinə yetirmək üçün vurulacaq ədədləri bir birinin altına sütun şəklində yazırıq. Toplamada olduğu kimi elə yazmalıyıq ki, təkliklər bir sütunda, onluqlar bir sütunda, yüzlüklər bir sütunda və s. olsun.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.