Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Yaranma tarixi:

Bucaqlar

Müstəvidə bir nöqtədən çıxan iki şüanın əmələ gətirdiyi fiqura bucaq deyilir. Həmin nöqtəyə bucağın təpəsi, şüalara isə tərəfləri deyilir. Bucaqları dərəcə və ya radianla ölçürlər.

Bucağın dərəcə ilə ölçülməsi qədim Babilistana təsadüf edilir. O zaman 60-lıq say sistemi tətbiq edilirdi və ildə olan günlərin sayı təxminən 360-a bərabər götürülürdü. Ona görə də tam dövrəmi (və ya çevrəni) 360 sayırdılar. Dərəcədən daha kiçik ölçü vahidi isə dəqiqə ($1°=60^\prime$ ) və saniyədir ($1^\prime = 60^{\prime\prime}$).

Radian, uzunluğu radiusa bərabər olan qövsə uyğun bucaqdır.  Açıq bucağa (180°) uyğun qövsün üzərində $π$ (təxminən 3,141593) irrasional ədədi qədər radius yerləşir.

Bucaqlar
Şəkil 1

Tam bucaq  $360°$-dir $(2π)$. Yəni hər iki şüa üst-üstə düşür.

Açıq bucaq  $180°$-dir $(π)$. Yəni şüaların biri digərinin davamı olub bir düz xətt üzərində yerləşir.

Düz  bucaq  $90°$-dir $\Big( \dfrac {\pi} {2} \Big)$ . Yəni şüalar perpendikulyardır.

İti bucağın dərəcə ölçüsü $90°$-dən kiçikdir.

Kor bucağın dərəcə ölçüsü $90°$-dən böyük, $180°$-dən kiçikdir.

Tənbölən bucağın təpəsindən çıxıb onu iki bərabər hissəyə bölən şüadır.

Tamamlayıcı bucaqlar bir-birini $90°$-yə (düz bucağa) tamamlayan bucaqlara deyilir.

İki düz xəttin kəsişməsindən alınan bucaqlar

İki düz xəttin kəsişməsindən 4 bucaq əmələ gəlir.

Bucaqlar
Şəkil 2

Qonşu bacaqlar. Bir tərəfi ortaq olub, digər tərəfləri bir-birinin davamı olan (yəni bir düz xətt üzərində yerləşən nöqtədən bu düz xəttin əks istiqamətlərində uzanan) tamamlayıcı şüaların yaratdığı bucaqlara qonşu bucaqlar deyilir. Şəkildə $ \alpha $ və $ \beta $ qonşu bucaqlardır. Qonşu bucaqların cəmi $180°$-dir, çünki birlikdə bu iki bucaq acıq bucaq əmələ gətirir.

Qarşılıqlı bucaqlar. Tərəfləri bir-birinin tamamlayıcı şüaları olan bucaqlara qarşılıqlı bucaqlar deyilir. Şəkildə $ \alpha $ ilə $ \alpha’ $ və $ \beta $ ilə $\beta’ $ qarşılıqlı bucaqlardır.

Qarşılıqlı bucaqlar bərabərdir. Şəklə diqqət yetirsək bir tərəfdən $ \alpha $ və $ \beta $ qonşu bucaqlar olduğu üçün cəmi $180°$-dir. Digər tərəfdən $ \beta $  və $ \alpha’ $ qonşu bucaqlar olduğundan onların da cəmi $180°$-dir.

$ \alpha + \beta = 180°; \alpha’ + \beta = 180° $

Buradan alınır ki, $ \alpha = \alpha’ =  180 - \beta $. Eynilə göstərmək olar ki $ \beta = \beta’ $.

İki düz xəttin üçüncü ilə kəsişməsindən alınan bucaqlar

Bucaqlar
Şəkil 3

Şəkildən görünür ki, iki düz xətt üçüncü ilə kəsişərkən 8 bucaq alınır.

Uyğun bucaqlar. $1-5$, $2-6$, $4-8$, $3-7$ uyğun bucaqlardır.

Çarpaz bucaqlar. $4-6$ və $3-5$ daxili çarpaz, $1-7$ və $2-8$ xarici çarpaz bucaqlardır.

Birtərəfli bucaqlar. $4-5$ və $3-6$ daxili birtərəfli, $2-7$ və $1-8$ xarici birtərəfli bucaqlardır.

Teorem: İki paralel xətt üçüncü xətlə kəsişərkən alınan uyğun bucaqlar bərabərdir.

İsbatı: Bunu isbat etmə üçün $b$ xəttini $c$ üzrə sürüşdürüb $a$ üzərinə salsaq yetər. Bu zaman $\angle 1$ ilə $\angle 5$, $\angle 2$ ilə $\angle 6$, $\angle 4$ ilə $\angle 8$, $ \angle 3$ ilə $\angle 7$ bir-birinin üstünə düşəcək.

Bucaqlar
Şəkil 4

Teorem: İki paralel xətt üçüncü xətlə kəsişərkən alınan çarpaz bucaqlar bərabərdir.

İsbatı: Əvvəl daxili çarpaz  bucaqlara baxaq. Şəkil 4-də $ \angle 4$ və $ \angle 6$ -ya baxaq. $ \angle 4$ və $ \angle 8$ uyğun bucaqlar olduğundan bərabərdir.  $ \angle 8$ və $ \angle 6$ isə qarşılıqlı bucaqlar olduğundan bərabərdir. Deməli

$ \angle 4 = \angle 6 $

İndi xarici çarpaz bucaqlar üçün teoremin doğruluğunu isbat edək. $ \angle 1$ və $ \angle 7$ -yə baxaq. Yenə də . $ \angle 1$ və $ \angle 5$ uyğun bucaqlar olduğundan bərabərdir.  $ \angle 5$ və $ \angle 7$ isə qarşılıqlı bucaqlar olduğundan bərabərdir. Deməli

$ \angle 1 = \angle 7$

Teorem: İki paralel xətt üçüncü xətlə kəsişərkən alınan birtərəfli bucaqların cəmi $180°$-yə bərabərdir.

İsbatı: Xatırladaq ki, burada iki cür birtərəfli bucaq var. Əvvəlcə Şəkil 4-də daxili birtərəfli bucaqlara baxaq. $ \angle 4$ və $ \angle 5$-ə baxaq. $ \angle 1 = \angle 5$, çünki uyğun bucaqlardır.  $ \angle 1 + \angle 4 = 180°$, çünki qonşu bucaqlardır. Deməli

$ \angle 4 + \angle 5 = 180°$

İndi xarici birtərəfli bucaqların cəminin $180°$ olduğunu isbat edək. $ \angle 1$ və $ \angle 8$-ə baxaq. $ \angle 1$ ilə $ \angle 4$ və $ \angle 5$ ilə $ \angle 8$ qonşu bucaqlar olduğuna görə onların cəmi 180°-dir. Bu o deməkdir ki,

$( \angle 1 + \angle 4 ) + ( \angle 5 + \angle 8 ) = 180°+180°=360°$

Onda

$ \angle 1 + \angle 8 = 360° - (\angle 4 + \angle 5) $

İndicə isbat etdik ki, $ \angle 4$ və $ \angle 5$ -in cəmi $180°$-yə bərabərdir.

$ \angle 1 + \angle 8 = 360° - 180° = 180° $

Tərəfləri paralel olan bucaqlar

Teorem: Tərəfləri paralel olan bucaqlar ikisi də iti və ya ikisi də kor olarsa, bu bucaqlar bərabərdir. Əgər biri iti, biri kor bucaq olarsa onların cəmi $180°$ olacaq.

İsbatı: Əvvəl iki iti və iki kor bucaq halına baxaq. Tutaq ki, $ \alpha $ və $ \beta $ bucaqlarının paralel olmayan tərəflərinin kəsişməsindən $ \gamma $ bucağı alınır. $ \alpha $ ilə $ \gamma $ bucaqları və $ \beta $ ilə $ \gamma $ bucaqları uyğun bucaqlar olduğundan bərabərdir. Deməli, $ \alpha = \gamma = \beta $. Bu bucaqlar kəsişməsə belə onları həmişə sürüşdürüb elə yerləşdirmək olar ki, paralel olmayan tərəflərin biri kəsişsin.

Paralel bucaqlar Paralel bucaqlar
Şəkil 5

İndi tutaq ki, bucaqlar Şəkil 6-dakı kimi yerləşib. Bu zaman $ \beta $ bucağının tərəfini uzatsaq $ \alpha$ bucağının tərəfi ilə kəsişmədə $ \alpha $ və $ \gamma $ çarpaz bucaqları alınar. $ \gamma $ və $ \beta $ isə uyğun bucaqlardır.  Deməli yenə də $ \alpha = \beta $.

Paralel bucaqlar
Şəkil 6

İndi ikinci halı isbat edək. Tutaq ki, $ \alpha $ iti, $ \beta $ isə kor bucaqdır.

Paralel bucaqlar
Şəkil 7

Bu halda Şəkil 7-dən görüür ki, $ \gamma $ və $ \alpha $ bucaqları uyğun bucaqlar olduğundan bərabərdirlər. $ \gamma $ ilə $ \beta $ isə birtərəfli bucaqlardır. Yenə yuxarıda isbat etdiyimiz teoremə görə

$ \gamma + \beta = 180° \Rightarrow  \alpha + \beta = 180° $

Teorem isbat olundu.

Tərəfləri perpendikulyar olan bucaqlar

Teorem: Tərəfləri perpendikulyar olan bucaqların hər ikisi iti və ya kor olarsa belə bucaqlar bərabərdir. Əgər biri iti o biri kor bucaq olarsa onların cəmi $180°$-dir.

İsbatı: Əvvəl iki iti və iki kor bucaq halına baxaq. Hər iki bucaq iti olduqda

Perpendikulyar bucaqlar
Şəkil 8

$ \alpha = 90° - \gamma ; \beta = 90° - \gamma \Rightarrow \alpha = \beta $

Hər iki bucaq kor olduqda

Perpendikulyar bucaqlar
Şəkil 9

$ \alpha = 90° + \gamma ; \beta = 90° + \gamma \Rightarrow \alpha = \beta $

İndi tutaq ki, $ \alpha $ iti, $ \beta $ isə kor bucaqdır.

Perpendikulyar bucaqlar
Şəkil 10

Bu halda $ \alpha + \beta + 2 \cdot  90° $ tam bucaq olduğundan $360°$-yə bərabərdir.

$ \alpha + \beta + 2 \cdot 90 = 360 \Rightarrow \alpha + \beta + 180 = 360 \Rightarrow \alpha + \beta = 180 $

Teorem isbat olundu.

Bu dərsi sinif yoldaşlarınızla bölüşün ki, onlar da oxusun.

Digər məqalələr

İkiqat və üşqat bucağın triqonometrik funsiyaları
sin(2x), cos(2x), tg(2x), ctg(2x), sin(3x), cos(3x), tg(3x), ctg(3x) ikiqat və üçqat bucaqların triqonometrik düsturlarını çıxarmaq üçün cəmin triqonometrik funksiya düsturlarından istifadə edəcəyik.

Fales teoremi
Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.