Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Dördbucaqlı


Yaranma tarixi:

Bretşnayder teoremi

dördbucaq  Kosinuslar  

 

Bu teoremə Bretşnayder münasibəti də deyilir. Əslində bu teorem dördbucaqlı üçün kosinuslar teoremidir. Şəkildəki $ABCD$ dördbucaqlısına baxın. Bu dördbucaqlının tərəflərini $a$, $b$, $c$, $d$, diaqonallarını isə $e$ və $f$ ilə işarə edək.

Bretşnayder teoremi

Teorem: Aşağıdakı Bretşnayder münasibəti doğrudur.

$(ef)^2 = (ac)^2+(bd)^2-2abcd \cos (\angle A +\angle C)$

İsbatı: Şəkildə göstərilən kimi verilmiş $ABCD$ dördbucaqlısının xaricində iki dənə $ABF$ və $ADE$ üçbucaqlarını quraq. Qurmanı elə edək ki, $\triangle ABF \sim \triangle CAD$ və $\triangle ADE \sim \triangle CAB$ olsun. Oxşarlıq bizə aşağıdakı münasibətləri verir.



$(1)$
$$\dfrac{AF}{a} = \dfrac{c}{e}, \ \ \dfrac{BF}{a} = \dfrac{d}{e}, \\[15pt]
\dfrac{AE}{b}=\dfrac{d}{e}, \ \ \dfrac{DE}{d}=\dfrac{a}{e}$$

Bu bərabərliklərdən alırıq ki,


$(2)$
$$AF=\dfrac{ac}{e}, \ \ AE=\dfrac{bd}{e}, \ \ BF = DE = \dfrac{ad}{e}$$

İndi $BDEF$ dördbucaqlısına diqqət yetirin. Bu dördbucaqlının $B$ və $D$ təpə bucaqlarının cəminə baxın.

$$(3)$$
$$\angle FBD + \angle BDE = \angle FBA + \angle ABD + \angle BDA + \angle ADE$$

Yuxarıda qurduğumuz üçbucaqların oxşarlığına görə

$$(4)$$
$$\angle FBA = \angle DAC, \ \ \angle ADE = \angle CAB$$

Deməli, $(3)$ bərabərliyində bu əvəzləməni aparsaq nəticədə $\triangle ABD$-nin bucaqlarının cəmini, yəni $180°$ alarıq.


$(5)$
$$\angle FBD + \angle BDE = \angle DAC + \angle ABD + \angle BDA + \angle CAB = \\[5pt]
=\angle ABD + \angle BDA + \angle DAB = 180°$$

Deməli, düz xətlərin paralelliyinin ikinci əlmətinə görə $BF \parallel DE$, çünki iki xətt üçüncü ilə kəsişdikdə birtərəfli bucaqların cəmi $180°$ oldu. $(2)$ bərabərliyindən isə aldıq ki, $BF=DE$. Deməli $BDEF$ dördbucaqlısı I əlamətə görə paraleloqramdır. Yəni,


$(6)$
$$FE=BD=f$$

İndi isə $\triangle AEF$-ə baxın.


$(7)$
$$\angle EAF = \angle BAD + \angle FAB + \angle DAE =\\[5pt]
= \angle BAD + \angle DCA + \angle ACB = \angle A + \angle C$$

Bu üçbucaq üçüm kosinuslar teoreminə görə

$FE^2 = AF^2+AE^2 – 2 \cdot AF \cdot AE \cdot \cos \angle EAF$

Yuxarıdakı $(2)$, $(6)$$(7)$ bərabərliklərini nəzərə alsaq

$f^2 = \left( \dfrac{ac}{e} \right)^2 + \left( \dfrac{bd}{e} \right)^2 - \dfrac{2abcd}{e^2} \cos (\angle A + \angle C)$

Bu da bizə Bretşnayder teoremini verir.

Digər məqalələr

Ptolemey teoremi
Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının diaqonallarının hasili qarşı tərəflərin hasilləri cəminə bərabərdir.

Dördbucaqlının sahəsi
Qabarıq dördbucaqlının sahəsi onun diaqonalları ilə bu diaqonalların kəsişmə nöqtəsində əmələ gələn bucağın sinusu hasilinin yarısına bərabərdir. Əgər bu dördbucaqlının xaricinə çevrə çəkmək mümkündürsə onun sahəsini Braxmaqupta düsturu vasitəsi ilə də tapmaq olar.

Düzbucaqlı, romb, kvadrat
Bütün bucaqları düz bucaq olan paraleloqrama düzbucaqlı deyilir. Bütün tərəfləri bərabər olan paraleloqrama romb deyilir. Bütün tərəfləri bərabər olan düzbucaqlı kvadrat adlanır.

Trapesiya
Yalnız iki qarşı tərəfi paralel olan qabarıq dördbucaqlıya trapesiya deyilir. Bu paralel tərəflərə trapesiyanın oturacaqları, paralel olmayan tərəflərə isə yan tərəfləri deyilir. Trapesiyanın qarşı təpələrini birləşdirən düz xətt parçasına onun diaqonalı deyilir.

Tebo teoremləri
Paraleloqramın tərəfləri üzərində qurulmuş kvadratların mərkəzləri özü, kvadratın təpə nöqtələridir. Əgər kvadratın iki qonşu tərəfində bərabərtərəfli üçbucaq qursaq bu üçbucaqların kvadrata aid olmayan təpələri ilə kvadratın bu üçbucaqlara aid olmayan təpəsini birləşdirərkən bərabərtərəfli üçbucaq alarıq.

Dördbucaqlı üçün Van-Obel teoremi
İxtiyarı dördbucaqlının tərəflərində xarici kvadratlar qursaq, qarşılıqlı kvadratların orta nöqtələrini birləşdirən düz xətt parçaları bərabər və perpendikulyar olacaq.

Bərabəryanlı trapesiya
Əgər trapesiyanın yan tərəfləri bərabərdirsə ona bərabəryanlı trapesiya deyilir. Bərabəryanlı trapesiyanın oturacağa bitişik bucaqları bərabərdir. Onun diaqonalları bərabərdir və diaqonallar oturacaqlar ilə eyni bucaq əmələ gətirir. Bu cür trapesiyanın xaricinə çevrə çəkmək olar.

Paraleloqram
Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabərdir, qarşı bucaqları bərabərdir, bir tərəfə söykənən bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarı bölünür.

Varinyon teoremi
İstənilən dördbucaqlının tərəflərinin orta nöqtəsini birləşdirsək paraleloqram alarıq. Bu teoremdə dördbucaqlının qabarıq olması şərt deyil və bütün dördbucaqlılar üçün doğrudur.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.