Блог Джафара Алиева

Архив

Домашняя страница :: Другие статьи :: Аналитика


Дата создания:

Биномиальное распределение

функция распределения  комбинаторика  

 

Сначала определим дискретное распределение. Это, распределение вероятностей независимых событий из конечного множества.

Биномиальное распределение является одним из видов дисретного распределения, т.е. является распределением вероятностей случайной величины из ограниченного количества значений. Если рассмотрим известный пример с монетой, то подбрасывая монету $5$ раз, количество выпадений “орла” может меняться от $0$ до $5$ раз. Значит, число случаев выпадения “орла” является дискретным значением.

Биномиальное распределение применяется к дихотомическим данным (где возможны только два значения). Это может быть результатом зачёта (“сдал”, “не сдал”), вердиктом судьи (“виновен”, “не виновен”) или проверкой наличия определенной болезни (“болен”, “не болен”). В последнем случае в качестве обратного значения нельзя указать “здоров”, так как если человек не болен конкретно проверенной болезнью, это еще не значит, что он здоров. Он может иметь другие болезни, наличие которых еще не проверяли. Одним словом, ко всему, что подчиняется закону исключённого третьего (лат. tertium non datur) применимо биномиальное распределение.

В биномиальном распределении случаи генерируются процессом Бернулли. Это конечная или бесконечная последовательность бинарных случайных величин, которые принимают только два значения.  При подбрасывании монеты выпадение одной из сторон (скажем “орла”) назовем успехом. Тогда, при подбрасывании монетки $n$ раз, если количество таких успехов равно $p$, то количество остальных случаев (не хочу называть их провалом или неудачей) будет равно $n-p$.

Данные, представленные биномиальным распределением должны удовлетворить следующим требованиям:

  1. При каждой попытке получаем один из взаимоисключающих результатов
  2. Каждая попытка является независимой, т.е. не имеет зависимости от других попыток
  3. Вероятность успеха равна при каждой попытке
  4. Имеется заранее известное, фиксированное количество попыток

На примере с монетой, каждый раз подбрасывая монету, мы имеем $50\%$ шансов на успех. Приведем другой пример. Если $60\%$ населения конкретного района составляют мужчины, то при случайной выборке из $k$ людей с такой же вероятностью в нашей выборке окажутся мужчины.

Формула вероятности успеха при выборке $k$ членов из генеральной совокупности с $n$ элементами пишется так.

$$P=C_n^k \ p^k \ (1-p)^{n-k}$$

Где $C_n^k$ является сочетанием из $n$ элементов по $k$. $n$ – количество попыток, $k$ – количество успехов, $p$ – число из интервала $(0,1)$.

В случае с подбрасыванием монеты $10$ раз, если $4$ раза попадет “орел”, $n=10$, $k=4$, $p=0,5$. Если число попыток растет, биномиальное распределение приближается к нормальному.

Теперь воспользуемся этой формулой для конкретного случая. Допустим, подбросив монету $5$ раз, всего $1$ раз она упала “орлом” вверх. Тогда $n=5$, $k=1$, $p=0,5$. Значит, вероятность получения всего одного “орла” из $5$-и попыток можно получить из следующей формулы.

$$P(k=1)=C_5^1 \cdot 0,5^1 \cdot (1-0,5)^{5-1}$$

Здесь

$$C_5^1=\dfrac{5!}{1!(5-1)!} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1\cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = 5$$

Подставляя это значение, получим:

$$P(k=1) = 5 \cdot 0,5^5=5 \cdot 0,03125=0,15625$$

Таким образом, вероятность получения всего одного “орла” из $5$-и попыток равна $0,15625$.

Читайте также

Нормальное распределение
Имеется множество различных функций распределения. Но в статистике в качестве непрерывного распределения больше всего используется нормальное распределение (normal distribution). Его также называют распределением Гаусса.

Распределение Стьюдента
Представьте, что имея малое количество элементов выборки нужно сделать определенные выводы относительно генеральной совокупности. Распределение Стьюдента позволяет найти промежуток, где с большой вероятностью находится среднее значение генеральной совокупности, зная среднее значение небольшой выборки.

Центральная предельная теорема
Центральная предельная теорема гласит, что вне зависимости от распределения элементов генеральной совокупности, распределение средних значений выборок стремится к нормальному распределению с увеличением числа элементов этих выборок.

Размещение, перестановка, сочетание
Если из множества n различных элементов выбирать комбинацию из k штук так, чтобы они отличались элементами или порядком, то мы получим размещение из n элементов по k. Расположение элементов множества в определенном порядке называется перестановкой. Сочетание из n элементов по k называется комбинация из k различных элементов этого множества.

© Все права защищены

Все статьи этого сайта написаны Джафаром Н.Алиевым. Перепечатывание любой статьи на стороннем ресурсе должно сопровождаться именем автора и ссылкой на данный ресурс. Сам автор следует этим правилам.