Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Dördbucaqlı


Yaranma tarixi:

Bərabəryanlı trapesiya

trapesiya  xassə  əlamətlər  

 

Əgər trapesiyanın yan tərəfləri bərabərdirsə ona bərabəryanlı trapesiya deyilir.

Bərabəryanlı trapesiyanın xassələri

Xassə 1: Əgər trapesiyanın bir oturacağındakı bucaqlar bərabərdirsə, onun o biri oturacağındakı bucaqlar da bərabərdir.

İsbatı: Bunun isbatı çox trivialdır. Çünki trapesiyanın oturacaqları paralel olduğundan onun yan tərəfə bitişik bucaqlarının cəmi birtərəfli bucaqlar kimi $180°$ olacaq. Ona görə

$\angle A = \angle D \Rightarrow 180°-\angle B = 180°-\angle C \Rightarrow \angle B=\angle C$

Xassə 2: Bərabəryanlı trapesiyanın oturacağa bitişik bucaqları bərabərdir.

Bərabəryanlı trapesiya
Şəkil 1

İsbatı: Trapesiyanın $B$ və $C$ təpələrindən hündürlüklərini çəksək iki bərabər düzbucaqlı üçbucaq alarıq. Bu üçbucaqlarda hipotenuz və bir katet bərabərdir. Ona görə $\angle A=\angle D$. Onda, əvvəlki xassəyə görə həm də $\angle B=\angle C$.

Xassə 3: Trapesiya bərabəryanlıdırsa onun diaqonalları da bərabərdir.

Bərabəryanlı trapesiya
Şəkil 2

İsbatı: $\triangle ABD$ və $\triangle DCA$-da $AB=DC$, $AD$ tərəfi ortaq, $\angle A =\angle D$ olduğu üçün bu üçbucaqlar I əlamətə görə bərabərdir. Bərabərlikdən isə alınır ki.

$AC=BD$

Xassə 4: Bərabəryanlı trapesiyada diaqonallar oturacaqlar ilə eyni bucaq əmələ gətirir.

Bərabəryanlı trapesiya
Şəkil 3

İsbatı: $\angle CAD=\angle ACB$ və $\angle ADB = \angle DBC$, çünki bunlar çarpaz bucaqlardır. $\triangle ABD$ və $\triangle DCA$ isə üç tərəfinə görə bərabərdir. Onda $\angle CAD = \angle ADB$. Bununla da bütün bucaqların bərabərliyi alındı.

$\angle CAD = \angle ADB = \angle DBC = \angle ACB$

Xassə 5: Bərabəryanlı trapesiyanın xaricinə çevrə çəkmək olar.

İsbatı: Bilirik ki, dördbucaqlının qarşı bucaqlarının cəmi $180°$ olarsa onun xaricinə çevrə çəkmək olar. Bərabəryanlı trapesiyada isə isbat etdiyimizə görə oturacağa bitişik bucaqlar bərabərdir.

$\angle BAD + \angle CBA = \angle BAD + \angle DCB = 180°$

Bərabəryanlı trapesiyanın əlamətləri

Əlamət 1: Əgər trapesiyanın oturacağa bitişik bucaqları bərabərdirsə bu trapesiya bərabəryanlıdır.

İsbatı:  Şəkil 1-də $ABM$ və $DCN$ düzbucaqlı üçbucaqları katet və bitişik bucağa görə bərabərdir. Bərabərlikdən alırıq ki, $AB=CD$.

Əlamət 2: Əgər trapesiyanın diaqonalları bərabərdirsə bu trapesiya bərabəryanlıdır.

İsbatı: Şəkil 2-yə baxsaq $\triangle ABD$ və $\triangle DCA$-nın sahələri eynidir. Bu sahələrin sinuslar vasitəsilə ifadəsini yazaq.

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle DCA} \Rightarrow \dfrac{1}{2} AC \cdot AD \cdot sin \angle CAD = \dfrac{1}{2} DB \cdot AD \cdot sin \angle BDA \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow sin \angle CAD = sin \angle BDA \Rightarrow \angle CAD = \angle BDA $

Onda $\triangle ABD$ və $\triangle DCA$ iki tərəfi və aralarındakı bucağa görə bərabərdir. Bu bərabərlikdən yan tərəflərin bərabərliyi alınır.

Əlamət 3: Əgər trapesiyanın diaqonalları oturacaqlar ilə bərabər bucaqlar əmələ gətirirsə bu trapesiya bərabəryanlıdır.

İsbatı: Şəkil 3-də $\triangle ABD$ və $\triangle DCA$-nın sahələri eynidir. Bu sahələrin sinuslar vasitəsilə ifadəsini yazaq.

$\dfrac{1}{2} AC \cdot AD \cdot sin \angle CAD = \dfrac{1}{2} DB \cdot AD \cdot sin \angle BDA \Rightarrow AC = DB$

Onda ikinci əlamətə görə trapesiya bərabəryanlıdır.

Əlamət 4: Əgər trapesiyanın xaricinə çevrə çəkmək olarsa bu trapesiya bərabəryanlıdır.

İsbatı: Əgər dördbucaqlının xaricinə çevrə çəkilibsə onun qarşı bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Yəni,

$\angle BCD + \angle BAD = 180°$

Həm də bilirik ki,

$\angle ABC + \angle BAD = 180°$

Deməli,

$\angle ABC = \angle BCD$

Eynilə alırıq ki,

$\angle BAD = \angle CDA$

Bu isə birinci əlamətə görə yan tərəflərin bərabərliyi deməkdir.

Digər məqalələr

Ptolemey teoremi
Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının diaqonallarının hasili qarşı tərəflərin hasilləri cəminə bərabərdir.

Dördbucaqlının sahəsi
Qabarıq dördbucaqlının sahəsi onun diaqonalları ilə bu diaqonalların kəsişmə nöqtəsində əmələ gələn bucağın sinusu hasilinin yarısına bərabərdir. Əgər bu dördbucaqlının xaricinə çevrə çəkmək mümkündürsə onun sahəsini Braxmaqupta düsturu vasitəsi ilə də tapmaq olar.

Düzbucaqlı, romb, kvadrat
Bütün bucaqları düz bucaq olan paraleloqrama düzbucaqlı deyilir. Bütün tərəfləri bərabər olan paraleloqrama romb deyilir. Bütün tərəfləri bərabər olan düzbucaqlı kvadrat adlanır.

Trapesiya
Yalnız iki qarşı tərəfi paralel olan qabarıq dördbucaqlıya trapesiya deyilir. Bu paralel tərəflərə trapesiyanın oturacaqları, paralel olmayan tərəflərə isə yan tərəfləri deyilir. Trapesiyanın qarşı təpələrini birləşdirən düz xətt parçasına onun diaqonalı deyilir.

Tebo teoremləri
Paraleloqramın tərəfləri üzərində qurulmuş kvadratların mərkəzləri özü, kvadratın təpə nöqtələridir. Əgər kvadratın iki qonşu tərəfində bərabərtərəfli üçbucaq qursaq bu üçbucaqların kvadrata aid olmayan təpələri ilə kvadratın bu üçbucaqlara aid olmayan təpəsini birləşdirərkən bərabərtərəfli üçbucaq alarıq.

Dördbucaqlı üçün Van-Obel teoremi
İxtiyarı dördbucaqlının tərəflərində xarici kvadratlar qursaq, qarşılıqlı kvadratların orta nöqtələrini birləşdirən düz xətt parçaları bərabər və perpendikulyar olacaq.

Paraleloqram
Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabərdir, qarşı bucaqları bərabərdir, bir tərəfə söykənən bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarı bölünür.

Varinyon teoremi
İstənilən dördbucaqlının tərəflərinin orta nöqtəsini birləşdirsək paraleloqram alarıq. Bu teoremdə dördbucaqlının qabarıq olması şərt deyil və bütün dördbucaqlılar üçün doğrudur.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.