Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Bərabərtərəfli üçbucaq

üçbucaq  sahə  xassə  

 

Bütün tərəfləri bərabər olan üçbucağa bərabərtərəfli üçbucaq deyilir. Bərabərtərəfli üçbucağa düzgün üçbucaq da deyilir.

Teorem 1: Bərabərtərəfli üçbucaqda bütün bucaqlar $60°$-dir.

İsbatı: Bilirik ki, bərabəryanlı üçbucaqda oturacağa bitişik bucaqlar bərabərdir. Bərabərtərəfli üçbucağın istənilən tərəfinə oturacaq kimi baxsaq, onun bütün bucaqları bərabər olacaq. Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi $180°$ olduğu üçün bucaqların hər biri $\dfrac{180°}{3}=60°$ olacaq.

Bərabərtərəfli üçbucaq

Teorem 2: Bərabərtərəfli üçbucağın medianı, hündürlüyü və tənbölənləri üst-üstə düşür və $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$-yə bərabərdir.

İsbatı: Bilirik ki, bərabəryanlı üçbucaqda oturacağa çəkilmiş tənbölən, həm hündürlük həm də mediandır. Yenə də, bərabərtərəfli üçbucağın istənilən tərəfinə oturacaq kimi baxsaq, onun bütün tənbölənləri üçün bu şərt ödənəcək.

Şəkildəki üçbucaqda $h$ oturacağa perpendikulyar olub onu iki bərabər hissəyə bölür. Onda Pifaqor teoreminə görə

$h = \sqrt {a^2- \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac {\sqrt{4a^2-a^2}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Teorem 3: Bərabərtərəfli üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ kimi hesablanır.

Bərabərtərəfli üçbucaq

İsbatı: Bilirik ki, üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi onun tərəfləri ortasından qaldırılmış perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsidir. Bərabərtərəfli üçbucaqda isə bütün hündürlüklər median olduğu üçün qarşı tərəfin mərkəzindən keçir. Deməli, bərabərtərəfli üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi onun medianlarının kəsişmə nöqtəsidir. Bu çevrənin radiusu isə həmin nöqtədən təpələrə qədər olan məsafəyə bərabərdir. Medianlar isə kəsişmə nöqtəsində $\dfrac{1}{2}$  nisbətində bölünür.

Yuxarıdakı xassədə bərabərtərəfli üçbucağın medianının uzunluğunun $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ olduğunu tapmışdıq. Deməli, bu medianın $\dfrac{2}{3}$ hissəsi bizə lazım olan radius olacaq.

$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{a \sqrt{3}}{3}$

Teorem 4: Bərabərtərəfli üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$-ya bərabərdir.

İsbatı: Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsidir, bu nöqtə isə bərabərtərəfli üçbucaqda, həm də median və perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsidir. Onda, daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzi hündürlüyün $\dfrac{1}{3}$ hissəsinə bərabər olacaq. İkinci xassəyə görə bu hündürlük $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$-yə bərabərdir. Onda

$r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$

Teorem 5: Bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi $S=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ kimi hesablanır.

İsbatı: İkinci xassədə hündürlüyün $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ olduğunu tapmışdıq. Ona görə

$S=\dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2}a \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Yuxarıdakı teoremlərdən bu nəticələr çıxır.

Nəticə 1: Düzgün üçbucağın perimetri onun daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələr vasitəsilə belə ifadə olunur.

$P=3a=3\sqrt{3}R=6\sqrt{3}r$

Burada $a$ üçbucağın tərəfi, $R$ xaricinə, $r$ isə daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusudur. Bu düstur birbaşa IIIIV teoremdən alınır.

Nəticə 2: Düzgün üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu onun daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusunun iki mislinə bərabərdir.

$R=2r$

$R$ xaricə çəkilmiş, $r$ isə daxilə çəkilmiş çevrənin radiusudur. Bu düstur da IIIIV teoremlərdən çıxır.

Nəticə 3: Düzgün üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələrin mərkəzi eynidir.

Median, tənbölən və hündürlüyün tərifini, həmçinin üçbucaq xaricinədaxilinə çəkilmiş çevrələrin mərkəzlərinin xassəsini yada salsaq, görərik ki, bu nəticə Teorem 2-dən çıxır.

Nəticə 4: Bərabərtərəfli üçbucaq üçün aşağıdakı sahə düsturları doğrudur.

$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2=\dfrac{3 \sqrt{3}}{4}R^2=3 \sqrt{3}r^2=\dfrac{\sqrt{3}}{36}P^2$

$a$ üçbucağın tərəfi, $P$ perimetri, $R$ xaricə çəkilmiş, $r$ isə daxilə çəkilmiş çevrənin radiusudur. Bu düsturlar ardıcıl olaraq, hər biri əvvəlkindən alınır.

Digər məqalələr

Kosinuslar teoremi
Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi
Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Median, tənbölən, hündürlük
Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Pifaqor teoremi
Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri
İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaq
Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Oxşar üçbucaqlar
Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi
Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Üçbucaqların həlli
Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Bu məsələni üç halda araşdıracağıq.

Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Fales teoremi
Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Viviani teoremi
Düzgün (bərabərtərəfli) üçbucağın daxilində götürülmüş istənilən nöqtədən tərəflərə qədər məsafələrin cəmi sabit olub bu üçbucağın hündürlüyünə bərabərdir. Buna Viviani teoremi deyilir.

Napoleon teoremi
Əgər ixtiyari üçbucağın tərəflərində bərabərtərəfli üçbucaqlar qursaq, onların mərkəzləri də bərabərtərəfli üçbucağın təpəsi olacaq. İlk dəfə bu teoremi Vilyam Rezerford Napoleonun ölümündən 4 il sonra çap elətdirib.

Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi
Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının bu oturacaq qarşısındakı bucağın yarısının tangensinin 4 mislinə nisbətinə bərabərdir. Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının dörddən birinin yan tərəfin oturacaqla əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə hasilinə bərabərdir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.